Polinomial

1. Pengertian Polinomial
Polinomial adalah suku banyak yang memiliki ciri-ciri
• Pangkat bilangan cacah
• Memiliki variabel
• Koefisien
• Operasi matematis
• Konstanta

Contoh polinomial: 

2x⁴+3x³-5x²+2x-7

Contoh bukan polinomial:

x²+3x½+6
Operasi Matematis Polinomial
Contoh :
F(x) = x³-2x²-5x+2
G(x) = 2x²+3x+6
Hitunglah !
a.F(x)+g(x)
b.F(x)-g(x)
c.F(x).g(x)
Jawab:
a.f(x) +g(x)

b. F(x)-g(x)

c. F(x).g(x)

3. Nilai Polinomial
Untuk menentukan nilai polinomial terdapat dua metode yaitu substitusi dan teori horner.
1) Metode Substitusi
Contoh :
F(x)=2x⁴+x³-5x²+10x-5
Tentukan nilai polinomial untuk x = 3
Jawab:
=2(3)⁴+(3)³-5(3)²+10(3)-5
=2(81)+27-5(9)+30-5
=162+27-45+25
=169
2) Teori Horner
Untuk teori horner ,pertama-tama kita harus embuat diagram teori horner terlebih dahulusetelah itu simpan masing-masing koefisien di diagram horner.

4. Pembagian polinomial
Untuk pembagian polinomial terdapat dua cara yang bisa digunakan taitu cara bagi bersusun dan dan teori horner
a) Cara bagi bersusun
Contoh :
F(x)= 4x^5-3x³+2x²-10x+3
G(x)=x-3
Hitunglah f(x):g(x)

Untuk pembuktian gunakan algoritma pembagian
p(x).h(x)+s(x)

(x-3).(4x⁴+12x³+33x²+101x+293)+882
=4x^5+12x⁴+33x³+101x²+293x-12x⁴-36x³-99x²-303x-879+882

=4x^5+12x4-12x⁴+33x³-36x³+101x²-99x²+293x-303x+882-879
=4x^5-3x³+2x²-10x+3 (TERBUKTI)

b) Teori horner 

Teorema Sisa 

1) Terorema sisa I 

Jika suatu suku banyak f(x) : (x-k) maka sisa pembagiannya adalah f(k) 

Contoh : 

Tentukan sisa pembagian dari :

F(x)= x3+4x2+6x+4 : (x+2)

Jawab :

Teori horner

Bagi bersusun

Teorema sisa I 

x3+4x2+6x+4  = f(k) x-k=x+2

     x+2             k= -2

= (-2)3+4(-2)2+6(-2)+4

= -8+16-12+4

=  0

2) Teorema sisa II

Jika suatu suku banyak f(x):ax-b maka akan bersisa f(b/a)

Tentukan sisa pembagian dari F(x)=x4+3x3+2x2+x-5 : 2x-1

 Jawab :

Teori horner

Bagi bersusun

Teorema II

F(x)= x4+3x3+2x2+x-5

F(b/a)= (b/a)4+3(b/a)3+2(b/a)2+(b/a)-5

= (1/2)4+3(1/2)3+2(1/2)2+1/2-5  

= 1/16+3/8+2/4+-9/2

=15/16-9/2

-57/16

3) teorema sisa III

Jika suatu suku banyak f(x): (x-a)(x-b) maka :

(f(x))/((x-a)(x-b))=px+q

Dimana f(a) = p(a) +q dan f(b)= p(b)+q

Contoh :

F(x)= x3-2x2+3x-1 : x2+x-2

Langkah pertama faktorkan terlebih dahulu pembagi     

x2+x-2

(x+2)(x-1)

F(a)= p(a)+q

F(b)=p(b)+q

a=-2

b=1

F(x)= x3-2x2+3x-1

F(a)= a3-2a2+3a-1 f(b)= b3-2b2+3b-1

F(-2)= (-2)3-2(-2)2+3(-2)-1 f(1)= 13-2(1)2+3(1)-1

F(-2)=-8-8-6-1 f(1)=1-2+3-1

F(-2)=-23 f(1)= 1

F(a)= p(a)+q F(b)=p(b)+q

F(-2)=p(-2)+q F(1)=p(1)+q

F(-2)=-2p+q F(1)=p+q

   -23=-2p+q 1=p+q

-2p+q=-23........(1) p+q=1.....(2)

• Eliminasi kedua persamaan  

-2p+q=-23

   p+q=1    -

-3p=-24

P=-24/-3

P=8

• Substitusi nilai p=8 ke pers 2 maka sisanya 

p+q=1 p(x)+q

8+q=1 8x-7

Q=1-8

Q=-7
Pembuktian
Cara bersusun

4) teorema faktor 

x2+4x+3

X3+2x2-5x-6

Faktor dari -6         

±1±6±2±3

Pembuktian :
(X+1)(x-2)(x+2)
(X²-x-2)(x+3)
X³+3x²-x²-3x-2x-6
X³+2x²-5x-6

X³+3x²-4x-12